“应用意识有两个方面的含义:一方面,有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象,解决现实世界中的问题;另一方面,认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题,这些问题可以抽象成数学问题,用数学的方法予以解决。在整个数学教育的过程中都应该培养学生的应用意识,综合实践活动是培养应用意识很好的载体。”
———《义务教育数学课程标准(2011年版)

“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括:从现实生活或具体情境中抽象出数学问题,用数学符号建立方程、不等式等表示数学问题中的数量关系和变化规律,求出结果并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想,提高学习数学的兴趣和应用意识。”
———义务教育数学课程标准(2011年版)

语言是思维的外壳,同样也是推理的外壳。尽管推理能力的发展与语言的发展谁先影响谁的因果关系,如同“先有鸡还是先有蛋”,至今无法实证,但两者关系密切、相互促进是确定无疑的。发展小学生的推理能力,就要提高学生用数学语言合乎逻辑地进行讨论和质疑的能力。
原来的小学数学教学大纲,提“逻辑思维能力”,当时将“有根有据、有条有理”作为逻辑思维的重要标志之一。在这方面已经积累了不少细致、有效的经验,特别是培养数学表达的经验。如:提供示范,提供数学表达框架(模板);从模仿起步,从复述入手;由最初的要求“说完整”,到要求“说准确”,再到“说简单、清晰”,逐步提高表达要求…
近年来,有进一步发展的经验主要是,组织生生之间互动交流的经验,以及创造说的机会、营造说的氛围、激发说的愿望等方面的经验非常欣喜地看到,新近做了较大幅度修改的小学数学教材(人教版),给学生提供了不少说的机会。

“推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式,也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理,合情推理是从已有的事实出发,凭借经验和直觉,通过归纳和类比等推断某些结果;演绎推理是从已有的事实(包括定义、公理、定理等)和确定的规则(包括运算的定义、法则顺序等)出发,按照逻辑推理的法则证明和计算。在解决问题的过程中,两种推理功能不同,相辅相成:合情推理用于探索思路,发现结论;演绎推理用于证明结论。”
———义务教育数学课程标准(2011年版)》

仅就简便运算而言,首先,学生不喜欢。因为递等式的书写一步又一步,怨不得学生,实在太烦,多数学生“熟而生厌”。
其次,简便运算的反复训练,生成了不少负面效应。例如,125×8÷125×8=1,这是大江南北各地小学生最常见的运算错误之一。为什么同是黑头发、黄皮肤的我国香港、台湾地区的孩子,不见如此顽疾?因为我们的过度训练,练就了学生的条件反射,一看到125与8,哪怕是125+8,也立马反应1000。这可以说是大陆特有的“熟而生笨”的变式。
再次,“能简便运算的要简便运算”的指导语,本身就欠严谨。因为大家公认的推论是“不能简便运算的就不要简便运算”(严格说来,应是原指导语的逆否命题“不要简便运算的是不能简便运算的”)。岂不知要说一个算式能简便运算很容易,只要给出一种简便算法即可;但要断定一个算式不能施行简便运算,却是相当困难的。例如,两积之和的算式53×64+78×36,似乎不能“简便运算”,但若“强行”分拆,竟然是相当“经典”的“简便运算”。请看
53×64+78×36
=53×64+(53+25)×36
=53×64+53×36+25×36
=53×(64+36)+25×4×9
=53×100+100×9
=5300+900
=6200
还可以改动一个数字,让原题更“矫揉造作”53×64+78×35。留给有兴趣的读者“独立尝试
愿改革的春风早日吹进“简便运算”这个被遗忘的角落!

苏联教育心理学家克鲁捷茨基( baihm ahipeebny kpyrelknh)的研究,给出了数学能力的九种成分：
①对于数学材料的形式化知觉的能力,掌握题目的形式结构的能力。
②在数量关系和空间关系方面,以及在数和字母符号方面进行逻辑思维的能力;用数学符号进行思维的能力。
③对数学对象、关系和运算的迅速而广泛的概括能力。
④简缩数学推理过程和相应的运算系统的能力;以简缩的结构进行思维的能力。
⑤数学活动中心理过程的灵活性。
⑥力求解法的简洁、清楚、经济和合理。
⑦迅速和随意地改变心理过程的方向,从正向思维序列转到逆向思维序列的能力(数学推理中心理过程的可逆性)。
⑧数学记忆(对数学关系、类型特征、论证或证明的模式、解题的方法以及探索的原则等的概括记忆)。
⑨数学气质。

“运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理,寻求合理简洁的运算途径解决问题。”
———《义务教育数学课程标准(2011年版)》

数据分析观念包括:了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究,收集数据,通过分析作出判断,体会数据中蕴涵着信息;了解对于同样的数据可以有多种分析的方法,需要根据问题的背景选择合适的方法;通过数据分析体验随机性,一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同,另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。数据分析是统计的核心。”
———义务教育数学课程标准(2011年版)》

“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象,有助于探索解决问题的思路,预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学,在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”
———《义务教育数学课程标准(2011年版)》

皮亚杰( Jean piaget)关于儿童获得体积守恒观念的实验及其结论告诉我们受过教育和未受过教育的儿童大约在相同的年龄出现各种守恒能力,实现体积守恒的年龄是11~12岁。检测的方式是：
把纸片假设为湖,上面的方形是小岛,询问儿童在这些不同面积的小岛中盖房子,要能住下相同的人,该如何建。以此考察儿童是否理解通过高度的增加来弥补面积的减少,从而达到体积守恒(房子一样多)。
把测试题改编成如下表述：
在两块地上建房子,一块地200平方米,建了三层楼。另一块地100平方米,要建同样大小、同样多房间的楼,你有办法吗?
在教学体积概念之前,对36名五年级学生(2名10岁,5名12岁,其他皆为11岁)进行检测,所有学生几乎都毫无困难地作出了正确的回答。

(1)空间知觉、空间表象与空间想象[1]
空间知觉是指关于物体、图形的形状、大小及距离、方位等位置关系的知觉。
空间表象是在大量空间知觉的基础上,形成的关于物体、图形的形状、大小及相互位置关系的印象。在认知心理学中,表象既是信息加工的成果,又是信息加工的过程。
空间想象是指在事物或图形的影响下,在言语的调节下,头脑中已有空间表象经过加工、改造、结合,产生新表象的心理过程。
显然,空间知觉是空间表象的基础,空间想象是空间表象的发展。正是由于表象处在“承前启后”的地位,同时作为一种信息表征,它在记忆与思维中又起着重要的作用,因此随着认知心理学的兴起,关于表象的研究,可谓方兴未艾。
一般来说,从知觉到表象,到想象,这三种认知水平是递进发展的。

“空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形,根据几何图形想象出所描述的实际物体;想象出物体的方位和相互之间的位置关系;描述图形的运动和变化;依据语言的描述画出图形等。”

“符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律;知道使用符号可以进行运算和推理,得到的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。”

教育部《义务教育数学课程标准(2011年版)》(以下简称“课标2011年版”)关于“数感”的表述是:
“数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义,理解或表述具体情境中的数量关系。